Garfield e Pitágoras

Por mais estranho que pareça, Garfield tem muita coisa a ver com Pitágoras.

Não, não falo daquele gato esquisito, que não vejo nada cômico, embora muitas pessoas insistam em dizer que é.

Bom, o Garfield que estou a falar foi o vigésimo presidente dos EUA. Embora não nutra qualquer sentimento bom por pessoas que ocuparam e, especialmente pela que atualmente ocupa, este cargo, respeito este sujeito como cientista.

Ele desenvolveu uma demonstração para o teorema de pitágoras. Já havia uma, porém, um tanto complicada para alguns.

É o que pretendo demonstrar nesta postagem.

Seja a figura:

Temos que a área do trapézio é "produto da semi-soma das bases pela altura", então a sua área é:


Mas, dado que podemos calcular a área dos triângulos a partir da base e da altura (perpendicular à base), também temos:



Igualando as duas expressões, chegamos à:


E, dado que



temos:


Basta apenas que multipliquemos por 2 e chegaremos ao que foi proposto:



( QED ou CDQ =P )

Peço desculpas pela qualidade das imagens, mas não consegui fazer melhores. Assim, que conseguir, eu atualizarei isto.

Finalmente, depois de alguns anos, eu atualizei as imagens. Grato pela dica do Blog LeGauss! Utilizei o CodeCogs.

Ao infinito e além!

Coisa mais confusa esta, não?

Acho que desde que nos deparamos com este conceito, tem havido dúvidas sobre ele.

Se adotarmos o conceito comum de infinito, infinito é aquilo que não tem fim. Coisas pequenas são coisas pequenas e, portanto não são infinitas. Não consigo pensar em muitas coisas mais para falar sobre isto.

Mas, o conceito matemático é mais rico. Possibilita uma compreensão maior. Claro, precisa de uma abstração maior, e por consequência, precisa pensar um pouco também. Se não estiver afim de entender um humilde resumo deste conceito, pare de ler este post por aqui. Caso contrário, prepare os seus neurônios para uma pequena viagem!

Admito que tenha um conceito comum do que seja conjunto, ou seja, que conjunto é uma coleção de elementos que partilham pelo menos uma propriedade: participar de um mesmo conjunto.

Funções também é imprescindível. Se tiver alguma dificuldade, diga! Posso tentar fazer um post explicando sobre isto. De qualquer forma, acredito que a Wikipédia seja uma boa ajuda.

Ok, vamos lá...

Funções Injetoras

Uma função é injetora se e somente se quaisquer que sejam a, b pertencentes ao domínio da função, se a é diferente de b implica que f(a) é diferente de f(b).
Em linguagem matemática: ¨Seja f: A → B uma função. f é dita ser injetora <=> ( ∀ a,b ∈ A , f(a) = f(b) => a = b ) <=> ( ∀ a,b ∈ A , a !=b => f(a) != f(b) ) ¨
Trocando em miúdos: Cada elemento do domínio ¨acerta¨ um elemento diferente na imagem.

Funções Sobrejetoras

Uma função é sobrejetora se e somente se qualquer que seja b pertencente ao contradomínio da função, existe a pertencente ao domínio da função tal que f(a) = b.
Em linguagem matemática: ¨Seja f: A → B uma função. f é dita ser sobrejetora <=> ( ∀ b ∈ B , ∃ a ∈ A; f(a) = b)¨
Trocando em miúdos: Todos os elementos do contradomínio são ¨acertados¨ por alguém do domínio.

Funções Bijetoras

Uma função é bijetora se e somente ela é injetora e sobrejetora.
Em linguagem matemática: ¨Seja f: A → B uma função. f é dita ser sobrejetora <=> [ ∀ b ∈ B , ∃ a ∈ A; f(a) = b] e [ [∀ a,b ∈ A , f(a) = f(b) => a = b ] ou [ ∀ a,b ∈ A , a !=b => f(a) != f(b) ] ] ¨
Trocando em miúdos: Cada elemento do domínio é associado com um único elemento do contradomínio.

Uma propriedade das funções bijetoras é que elas são ¨invertíveis¨ (tomara que nenhuma pessoa com conhecimentos de teoria dos conjuntos esteja lendo isto aqui!), ou seja, que tu consegue construir uma função g: B → A, nas condições acima, tal que g é sobrejetora. Não que seja fácil construí-la, apenas é possível.

Seja A = { 1, 2 ,3 } e B = { 2, 4, 6 } e f: A → B uma função.

Seja f(x) → 2*x.
f(1) = 2;
f(2) = 4;
f(3) = 6;

Neste caso, f é dita ser bijetora.

Seja A = { 1, 2 ,3 } e B = { 2, 4, 6, 8 } e f: A → B uma função.
Seja f(x) → 2*x.
f(1) = 2;
f(2) = 4;
f(3) = 6;

Neste caso, f é dita ser injetora. Porém, f é não é sobrejetora já que o elemento 8 ∈ B, não é imagem de algum elemento de A.

Cardinalidade é a quantidade de elementos de um conjunto. Dizemos que dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos se e somente se existe uma função bijetora entre ambos.
Dizemos que a cardinalidade do conjunto N = { 1, 2 ,3, ... }, dos números naturais é infinita. Dizemos também que N é infinito, mas de um tipo especial, ele é enumerável. Pense assim: ¨Existem infinitos números, mas você pode contá-los... primeiro vem o um, depois vem o dois e assim em diante...
X é dito ser enumerável quando a cardinalidade de X é infinita e (cuidado com esta definição, ela varia um pouco dependendo de quem a faz) existe uma bijeção com o conjunto N. Ou seja, a cada elemento de X você associa um único elemento de N. E, neste caso também dizemos que todos os conjuntos que gozam desta propriedade contém o mesmo número de elementos.


Bom, chega de exemplos ¨coxas¨. Vamos aos mais interessantes.
Seja N = { 1, 2 ,3, ... } e P = { 2, 4, 6, ... } e f: N → P uma função.
Seja f(x) → 2*x.
f(1) = 2;
f(2) = 4;
f(3) = 6;
...

Neste caso, f é dita ser sobrejetora, pois a cada elemento de N, existe um único elemento de P associado. É questão de pensar um pouco... ¨cada número tem o seu dobro¨. E a cada elemento de P, você encontra um elemento de N. Neste caso, é simples de construir a função inversa.
Seja g: B → A uma função. Seja g(x) → x/2.
f(2) = 1;
f(4) = 2;
...

Percebeu o que isto acarreta? P está contido (dentro) de N e P é diferente de N, ou seja, em linguagem matemática P⊂N, e P!=N (isto indica que P é um subconjunto ¨próprio¨ de N, ou P⊆N). Mas, lembrando da definição que dei para a quantidade de elementos, P e N tem o mesmo número de elementos, mesmo P subconjunto próprio de N.

Um exemplinho mais interessante ainda?
Seja N = { 1, 2 ,3, ... } e Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } e f: N → Z uma função.
Seja f(x) = { (-x+1)/2 se x é ímpar e, x/2 se x é par}
f(1) = (-1+1)/2 = 0/2 = 0;
f(2) = 2/2 = 1;
f(3) = (-3+1)/2 = -2/2 = -1;
f(4) = 4/2 = 2;
f(5) = (-5+1)/2 = -4/2 = -2;
...

Ou seja, acabo de criar uma função bijetora que relaciona os números inteiros com os números naturais. Os números naturais ímpares são levados aos inteiros negativos e, os naturais pares são levados até os inteiros positivos. Lembre que N⊆Z. Então, temos que a quantidade de números naturais é a mesma da de números inteiros. Tente construir a função inversa!

Tenho um outro resultado, menos trivial de se provar em um blog, mas que posso indicar referências para consulta, e provo que o conjunto Q={ q; q=a/b, a∈Z e b∈N } dos números racionais tem o mesmo tamanho que o conjunto dos naturais.

Mas, até agora posso ter dado a falsa impressão de que todos os conjuntos infinitos tem o mesmo tamanho. Errado! Mas para provar isto, precisaria tratar de matemática mais avançada. Mas adianto que o conjunto dos números reais R é maior do que o conjunto N, e o denominamos como ¨conjunto não-enumerável¨.

Adianto que existem diferentes tamanhos de infinitos. ¨Infinitos maiores¨, ou como diria um professor meu,¨Infinitos piores¨.

Quis dar uma idéia para as pessoas que pensam que o conceito matemático de infinito é o mesmo que o comum. Não, não é. E muito cuidado ao utilizar este nas suas explicações teológicas, como tenho visto em muitos debates pelas comunidades religiosas no orkut.

Se alguma passagem tiver ficado obscura, normal. Mas, se ficou obscura demais, pode ser que eu tenha errado algo.

Ao infinito e além!

Obs: Eu dei uma olhada na Wikipédia e descobri que existem páginas para números : http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Inteiros . Será que eles farão para todos os números?

Matemática

Blog de um matemático, correto. Mas aonde está a matemática?

Acho que pelo menos um tópico tenho que dedicar à ela.

Que tal provar que qualquer número multiplicado por zero tem como resultado zero? Não, isto não é intuitivo. Estamos acostumados em ouvir isto, mas não é um dogma... vamos lá:

- Seja a um número real.
- a.0 = a.(0+0) [zero é o elemento neutro da adição] (1)
- => a.(0+0) = a.0 + a.0 [propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição] (2)
- => a.0 = a.0 + a.0 [juntar (1) com (2)]
- => a.0 + (-a.0) = a.0 + a.0 + (-a.0) [somar o elemento oposto à a.0 em ambos os lados]
- => 0 = a.0 [cancelando...]

Está aí... acho que esta foi a primeira prova matemática que vi na universidade, no primeiro dia. Disse-me a professora que, também viu isto em seu primeiro dia na universidade e descobriu neste momento que estava no curso certo. Senti a mesma coisa mas, tempos depois.

Acho que posso comparar a minha relação com a matemática como a relação que o ourives tem com as suas jóias. A cada novo detalhe, uma satisfação. O resultado em si é interessante mas, o processo é muito mais. Chegar lá não é o único objetivo, como chegar lá é mais importante do que isto. O fim não justifica os meios.

E não é só eu que sou assim. Existem prêmios milionários em matemática para quem conseguir demonstrar certas "verdades". Enfim, sabemos que é verdade, mas não sabemos como provar que aquilo é verdade. Recentemente teve o caso do russo Perelman que ao resolver um problema centenário, recusou o prêmio de um milhão de dólares e a sua medalha fields -o que para um matemático pode valer mais do que milhões de dólares pois, significa que você faz parte da história da matemática ao recebê-la.

Uma coisa que um professor me disse certa vez é que a matemática sempre agrega novos conhecimentos sem destruir conceitos anteriores. Ainda não encontrei algo que contradiga isto. É fascinante... a existência dos números reais não fez com que os números naturais fossem excluídos.

Não é necessário ser um gênio para ser um, basta apenas gostar do que faz. Claro, precisa ser gênio para garantir aquele pedaço de metal sem muita importância que citei pouco acima... mas para ser um matemático "normal", não precisa. Tu vai publicar algumas coisas em periódicos, ir a alguns congressos... enfim, uma vida normal...

Gostaria que mais pessoas seguissem este caminho, esta ciência é muito pouco desenvolvida, precisa de mais pessoas. Mas também, não precisa de pessoas em excesso, só um pouco viu? Não precisa vir todo mundo não!!!