Ao infinito e além!

Coisa mais confusa esta, não?

Acho que desde que nos deparamos com este conceito, tem havido dúvidas sobre ele.

Se adotarmos o conceito comum de infinito, infinito é aquilo que não tem fim. Coisas pequenas são coisas pequenas e, portanto não são infinitas. Não consigo pensar em muitas coisas mais para falar sobre isto.

Mas, o conceito matemático é mais rico. Possibilita uma compreensão maior. Claro, precisa de uma abstração maior, e por consequência, precisa pensar um pouco também. Se não estiver afim de entender um humilde resumo deste conceito, pare de ler este post por aqui. Caso contrário, prepare os seus neurônios para uma pequena viagem!

Admito que tenha um conceito comum do que seja conjunto, ou seja, que conjunto é uma coleção de elementos que partilham pelo menos uma propriedade: participar de um mesmo conjunto.

Funções também é imprescindível. Se tiver alguma dificuldade, diga! Posso tentar fazer um post explicando sobre isto. De qualquer forma, acredito que a Wikipédia seja uma boa ajuda.

Ok, vamos lá...

Funções Injetoras

Uma função é injetora se e somente se quaisquer que sejam a, b pertencentes ao domínio da função, se a é diferente de b implica que f(a) é diferente de f(b).
Em linguagem matemática: ¨Seja f: A → B uma função. f é dita ser injetora <=> ( ∀ a,b ∈ A , f(a) = f(b) => a = b ) <=> ( ∀ a,b ∈ A , a !=b => f(a) != f(b) ) ¨
Trocando em miúdos: Cada elemento do domínio ¨acerta¨ um elemento diferente na imagem.

Funções Sobrejetoras

Uma função é sobrejetora se e somente se qualquer que seja b pertencente ao contradomínio da função, existe a pertencente ao domínio da função tal que f(a) = b.
Em linguagem matemática: ¨Seja f: A → B uma função. f é dita ser sobrejetora <=> ( ∀ b ∈ B , ∃ a ∈ A; f(a) = b)¨
Trocando em miúdos: Todos os elementos do contradomínio são ¨acertados¨ por alguém do domínio.

Funções Bijetoras

Uma função é bijetora se e somente ela é injetora e sobrejetora.
Em linguagem matemática: ¨Seja f: A → B uma função. f é dita ser sobrejetora <=> [ ∀ b ∈ B , ∃ a ∈ A; f(a) = b] e [ [∀ a,b ∈ A , f(a) = f(b) => a = b ] ou [ ∀ a,b ∈ A , a !=b => f(a) != f(b) ] ] ¨
Trocando em miúdos: Cada elemento do domínio é associado com um único elemento do contradomínio.

Uma propriedade das funções bijetoras é que elas são ¨invertíveis¨ (tomara que nenhuma pessoa com conhecimentos de teoria dos conjuntos esteja lendo isto aqui!), ou seja, que tu consegue construir uma função g: B → A, nas condições acima, tal que g é sobrejetora. Não que seja fácil construí-la, apenas é possível.

Seja A = { 1, 2 ,3 } e B = { 2, 4, 6 } e f: A → B uma função.

Seja f(x) → 2*x.
f(1) = 2;
f(2) = 4;
f(3) = 6;

Neste caso, f é dita ser bijetora.

Seja A = { 1, 2 ,3 } e B = { 2, 4, 6, 8 } e f: A → B uma função.
Seja f(x) → 2*x.
f(1) = 2;
f(2) = 4;
f(3) = 6;

Neste caso, f é dita ser injetora. Porém, f é não é sobrejetora já que o elemento 8 ∈ B, não é imagem de algum elemento de A.

Cardinalidade é a quantidade de elementos de um conjunto. Dizemos que dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos se e somente se existe uma função bijetora entre ambos.
Dizemos que a cardinalidade do conjunto N = { 1, 2 ,3, ... }, dos números naturais é infinita. Dizemos também que N é infinito, mas de um tipo especial, ele é enumerável. Pense assim: ¨Existem infinitos números, mas você pode contá-los... primeiro vem o um, depois vem o dois e assim em diante...
X é dito ser enumerável quando a cardinalidade de X é infinita e (cuidado com esta definição, ela varia um pouco dependendo de quem a faz) existe uma bijeção com o conjunto N. Ou seja, a cada elemento de X você associa um único elemento de N. E, neste caso também dizemos que todos os conjuntos que gozam desta propriedade contém o mesmo número de elementos.


Bom, chega de exemplos ¨coxas¨. Vamos aos mais interessantes.
Seja N = { 1, 2 ,3, ... } e P = { 2, 4, 6, ... } e f: N → P uma função.
Seja f(x) → 2*x.
f(1) = 2;
f(2) = 4;
f(3) = 6;
...

Neste caso, f é dita ser sobrejetora, pois a cada elemento de N, existe um único elemento de P associado. É questão de pensar um pouco... ¨cada número tem o seu dobro¨. E a cada elemento de P, você encontra um elemento de N. Neste caso, é simples de construir a função inversa.
Seja g: B → A uma função. Seja g(x) → x/2.
f(2) = 1;
f(4) = 2;
...

Percebeu o que isto acarreta? P está contido (dentro) de N e P é diferente de N, ou seja, em linguagem matemática P⊂N, e P!=N (isto indica que P é um subconjunto ¨próprio¨ de N, ou P⊆N). Mas, lembrando da definição que dei para a quantidade de elementos, P e N tem o mesmo número de elementos, mesmo P subconjunto próprio de N.

Um exemplinho mais interessante ainda?
Seja N = { 1, 2 ,3, ... } e Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } e f: N → Z uma função.
Seja f(x) = { (-x+1)/2 se x é ímpar e, x/2 se x é par}
f(1) = (-1+1)/2 = 0/2 = 0;
f(2) = 2/2 = 1;
f(3) = (-3+1)/2 = -2/2 = -1;
f(4) = 4/2 = 2;
f(5) = (-5+1)/2 = -4/2 = -2;
...

Ou seja, acabo de criar uma função bijetora que relaciona os números inteiros com os números naturais. Os números naturais ímpares são levados aos inteiros negativos e, os naturais pares são levados até os inteiros positivos. Lembre que N⊆Z. Então, temos que a quantidade de números naturais é a mesma da de números inteiros. Tente construir a função inversa!

Tenho um outro resultado, menos trivial de se provar em um blog, mas que posso indicar referências para consulta, e provo que o conjunto Q={ q; q=a/b, a∈Z e b∈N } dos números racionais tem o mesmo tamanho que o conjunto dos naturais.

Mas, até agora posso ter dado a falsa impressão de que todos os conjuntos infinitos tem o mesmo tamanho. Errado! Mas para provar isto, precisaria tratar de matemática mais avançada. Mas adianto que o conjunto dos números reais R é maior do que o conjunto N, e o denominamos como ¨conjunto não-enumerável¨.

Adianto que existem diferentes tamanhos de infinitos. ¨Infinitos maiores¨, ou como diria um professor meu,¨Infinitos piores¨.

Quis dar uma idéia para as pessoas que pensam que o conceito matemático de infinito é o mesmo que o comum. Não, não é. E muito cuidado ao utilizar este nas suas explicações teológicas, como tenho visto em muitos debates pelas comunidades religiosas no orkut.

Se alguma passagem tiver ficado obscura, normal. Mas, se ficou obscura demais, pode ser que eu tenha errado algo.

Ao infinito e além!

Obs: Eu dei uma olhada na Wikipédia e descobri que existem páginas para números : http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Inteiros . Será que eles farão para todos os números?